困擾數學家70年的等角線之謎

2021年10月10日12:00

  來源:原理

  等角線是空間中相交於同一個點的一組直線,而這些直線中兩兩形成的夾角都相等。

  在二維平面中,正六邊形的三條對角線就是一組等角線,任意兩條線形成的夾角都是60°。同時,這種情況也是二維中等角線數量的極限,換句話說,在二維中等角線最多有三條。

  二維平面中的等角線。| 圖片來源:毛尖尖;素材參考:Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

  而在三維空間中,連接正二十面體相對頂點的6條線同樣是一組等角線,它們兩兩之間會形成63.4°的夾角。這組等角線數量也是三維空間中的最大值。

  三維空間中正二十面體和6條等角線。|圖片來源:Zilin Jiang / MIT

  但對數學家來說,探索並不局限於三維空間。在一些數學家眼中,高維才真正讓事情開始變得有趣,其中似乎包含著無限可能。

  但對等角線而言,它們在高維中並不是無限的。麻省理工學院的趙宇飛和他的團隊嚐試解決了高維空間中這個直線幾何的問題。這個問題困擾了研究人員至少70年。這項突破確定了高維中給定角度的等角線的最大可能數量。論文即將發表在2022年1月的《數學年刊》上。

  當維度超過三時,我們不可能真正在腦海中想像得出等角線的構造是什麼樣子的,這也是為什麼計算任何維度中等角線的最大數量是非常困難的。

  自上世紀中葉起,等角線的極值幾何研究已經開始受到廣泛的關注。1973年,數學家萊門斯(P。 W。 H。 Lemmens)和塞德爾(J。 J。 Seidel)在一篇發表於《代數學報》的論文中詳細闡述了研究給定角度的等角線的最大數量的問題。

  但之後的幾十年,對相關問題的研究停滯了很長一段時間。直到幾年前,2017年,數學家蘇達科夫(Benny Sudakov)帶領的研究團隊在等角線最大數量的研究中取得了一些重要進展。

  從本質上來說,蘇達科夫沿用了研究“不可觀察”的對象時經常使用到的數學方法。他們尋找其他類型的數學對象來表示直線的存在。簡單來說,他們將這些直線和向量及其運算聯繫在了一起,並將其轉化成矩陣。這樣一來,線性代數的工具就順理成章地被引入,從而進行進一步探索。

蘇達科夫使用到的方法在二維中的簡化版示意。|圖片來源:毛尖尖;素材參考:Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine
蘇達科夫使用到的方法在二維中的簡化版示意。|圖片來源:毛尖尖;素材參考:Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

  圖論是一種研究點如何通過邊相互連接的學科。借助圖論的語言重新解構並分析這個幾何問題後,研究的主要創新便隨之顯現。

  在這個等角線問題中,圖形的點就表示向量。點根據特定的顏色規則相互連接,將紅色和綠色的線進行配置,從而構建出了一種截然不同的方式來審視原來那個問題。

類似的方法也可以應用在更高維度中,比如五維中8條直線的圖和矩陣。|圖片來源:毛尖尖;素材參考:Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine
類似的方法也可以應用在更高維度中,比如五維中8條直線的圖和矩陣。|圖片來源:毛尖尖;素材參考:Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

  在蘇達科夫取得這項進展後不久,他前往MIT進行訪問活動,並在組合學研究研討會上談到了他在等角線方面的進展。

  趙宇飛在採訪中表示,著手研究這個問題是因為他原本正在尋暑期項目課題,他認為等角線是一個有待解決的大問題,也相信團隊可能會取得一些不錯的進展。但最終完全解決整個問題絕對超出了他的預期。

  在這項新研究中,團隊仍然是借助線性代數的工具去理解圖和網絡,通過圖形及其轉化後的矩陣來得到所謂的“譜”,也就是所謂譜圖論的方法。用趙宇飛的比喻,這就好比用一束強光照在一張圖上,然後檢查出現的顏色光譜。

  團隊在這些譜中發現了一些之前從未被觀察到的基本事實。新的研究帶來了譜圖論中的一個新定理:有界度圖必須具有次線性第二本征值重數。這個定理的證明需要格外的洞察力,將圖的譜與圖中小塊的譜聯繫在一起。而他們的證明清晰而明了。

  這篇論文為譜圖論領域提供了新的見解,並為研究網絡提供了數學工具。譜圖論已經引出了計算機科學中的不少重要算法,如Google搜索引擎的PageRank算法。

  這種對等角線的新理解同樣對編碼和通信具有潛在的重要意義。等角線是“球形碼”(spherical code)的一個例子,這正是信息論中的重要工具,它允許各方通過嘈雜的通信信道互相發送信息,比如NASA與其火星探測器之間的通信。

  #創作團隊:

  編譯:Måka

  #參考來源:

  https://news.mit.edu/2021/mathematicians-solve-old-geometry-problem-equiangular-lines-1004

  https://www.quantamagazine.org/a-new-path-to-equal-angle-lines-20170411/

  #圖片來源:

  封面來源:Zilin Jiang / MIT;封底:Pixabay

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